已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，14）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，(1)/(4)）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直线y=-1的垂线．垂足分别为M、F、N（如图二）．求证：PF⊥QF．

Answer 1

（1） 设抛物线解析式为y=a（x-1）²，
把（0，(1)/(4)）代入得a=(1)/(4)，
所以抛物线解析式为y=(1)/(4)（x-1）²；
（2）证明：如图1，设P（x，(1)/(4)（x-1）²），则PM=(1)/(4)（x-1）²+1，
∵PR²=（x-1）²+[(1)/(4)（x-1）²-1]²=（x-1）²+[(1)/(4)（x-1）]⁴-(1)/(2)（x-1）²+1=[(1)/(4)（x-1）]⁴+(1)/(2)（x-1）²+1=[(1)/(4)（x-1）²+1]²，
∴PR=(1)/(4)（x-1）²+1，
∴PR=PM，
即点P到R的距离与点P到直线y=-1的距离恒相等；
（3）证明：由（2）得QN=QR，PR=PM，
∴PQ=PR+QR=PM+QN，
∵EF⊥MN，QN⊥MN，PM⊥MN，
而E为线段PQ的中点，
∴EF为梯形PMNQ的中位线，
∴EF=(1)/(2)（QN+PM），
∴EF=(1)/(2)PQ，
∴EF=EQ=EP，
∴点F在以PQ为直径的圆上，
∴∠PFQ=90°，
∴PF⊥QF．