若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=-2x2+4x+2与C2：u2=-x2+mx+n为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2的解析式．（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ

Question

若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C₁：y₁=-2x²+4x+2与C₂：u₂=-x²+mx+n为“友好抛物线”．

（1）求抛物线C₂的解析式．
（2）点A是抛物线C₂上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）设抛物线C₂的顶点为C，点B的坐标为（-1，4），问在C₂的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C₂上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

Answer 1

（1）∵y₁=-2x²+4x+2=--2（x-1）²+4，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，4）．
∵抛物线C₁：与C₂顶点相同，
∴(-m)/(-1×2)=1，-1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C₂的解析式为u₂=-x²+2x+3．
（2）如图1所示：

设点A的坐标为（a，-a²+2a+3）．
∵AQ=-a²+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=-a²+2a+3+a=-a²+3a+3=-（a-(3)/(2)）²+(21)/(4)．
∴当a=(3)/(2)时，AQ+OQ有最大值，最大值为(21)/(4)．
（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．

∵B（-1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2．
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°．
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°．
∴∠MB′D=∠BMC．
在△BCM和△MDB′中，

∠MB′D=∠BMC

∠BCM=∠MDB′

BM=MB′

，
∴△BCM≌△MDB′．
∴BC=MD，CM=B′D．
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4-a，MD=CB=2．
∴点B′的坐标为（a-3，a-2）．
∴-（a-3）²+2（a-3）+3=a-2．
整理得：a²-7a-10=0．
解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2），
当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C₂上．