已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设

Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理

Answer 1

（1）将A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）代入抛物线y=ax2+bx+c中,得：
a-b+c=09a+3b+c=0c=3
,解得：
a=-1b=2c=3
∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3
（2）连接BC,直线BC与直线l的交点为P；
设直线BC的解析式为y=kx+b,将B（3,0）,C（0,3）代入上式,得：
3k+b=0b=3
,解得：
k=-1b=3
∴直线BC的函数关系式y=-x+3；
当x=1时,y=2,即P的坐标（1,2）．
（3）抛物线的对称轴为：x=-b/2a
=1,设M（1,m）,已知A（-1,0）、C（0,3）,则
MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10；
①若MA=MC,则MA2=MC2,得：
m2+4=m2-6m+10,得：m=1；
②若MA=AC,则MA2=AC2,得：
m2+4=10,得：m=±
6
；
③若MC=AC,则MC2=AC2,得：
m2-6m+10=10,得：m1=0,m2=6；
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去；
综上可知,符合条件的M点,且坐标为 M（1,
6
）（1,-
6 ）（1,1）（1,0）．