已知f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时，f（x）=1-2x，（1）求函数f（x）的解析式，（2）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性并用定义证明．

Question

已知f（x）为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，x＞0时，f（x）=1-(2)/(x)，
（1）求函数f（x）的解析式，
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）的单调性并用定义证明．

Answer 1

（1）设x＜0，则-x＞0，f（-x）=1+(2)/(x)，又∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（x）=-1-(2)/(x)
∴f（x）=

1−(2)/(x)，   x＞0

−1−(2)/(x)，  x＜0 

（2）f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
证明：任取0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1-(2)/(x1)-1+(2)/(x2)=(2)/(x2)-(2)/(x1)=(2(x1−x2))/(x2x1)
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）为单调增函数．