（1）已知函数g（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围．（2）已知函数f(x)＝ln(ax+1)+1−x1+x(x≥0，a＞0)，求f（x）的单调区间．

Question

（1）已知函数g（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围．
（2）已知函数f(x)＝ln(ax+1)+(1−x)/(1+x)(x≥0，a＞0)，求f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）∵g（x）=x²+2x+alnx，故  g′（x）=2x+2+(a)/(x)．
∵函数g（x）在（0，1）上单调递减，∴在区间（0，1）内，
g′（x）=2x+2+(a)/(x)=(2x2+2x+a)/(x)≤0恒成立，
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
∵-（2x²+2x）在（0，1）上单调递减，
∴a≤-4为所求．
（2）∵f′(x)＝(ax2+a−2)/((ax+1)(1+x)2)，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，
①当a≥2时，在区间（0，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞），
②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得x＞√((2−a)/(a))，由f′（x）＜0，解得x＜√((2−a)/(a))，
∴f（x）的单调减区间为（0，√((2−a)/(a))），单调增区间为（√((2−a)/(a))，+∞）．