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已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求
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已知f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;
(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;
(3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
▼优质解答
答案和解析
f′(x)=ex-a.
(1)若a≤0,f′(x)=ex-a>0恒成立,即f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a>0,∴ex>a,x>lna.
∴f(x)的递增区间为(lna,+∞).
(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0.
(3)由题意知,若f(x)在(-∞,0]上单调递减,
则ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立.
∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立.
∵y=ex在(-∞,0]上为增函数.
∴x=0时,y=ex最大值为1.∴a≥1.
同理可知,ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.
∵y=ex在[0,+∞)上为增函数.
∴x=0时,y=ex最小值为1.∴a≤1,
综上可知,当a=1时,满足f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
(1)若a≤0,f′(x)=ex-a>0恒成立,即f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a>0,∴ex>a,x>lna.
∴f(x)的递增区间为(lna,+∞).
(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0.
(3)由题意知,若f(x)在(-∞,0]上单调递减,
则ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立.
∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立.
∵y=ex在(-∞,0]上为增函数.
∴x=0时,y=ex最大值为1.∴a≥1.
同理可知,ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.
∵y=ex在[0,+∞)上为增函数.
∴x=0时,y=ex最小值为1.∴a≤1,
综上可知,当a=1时,满足f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
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