已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若a=0，且曲已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2

Question

已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若a=0，且曲
已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=3（x+a）（x-(a)/(3)）
 令f'（x）＜0，∵a＜0，∴(a)/(3)＜x＜?a
∴函数单调递减区间[(a)/(3)，-a]；
（2）证明：当a=0时，f（x）=x³+2
设在点A（x₁，x₁³+2）、B（x₂，x₂³+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），
∵y′=3x²，∴在点A处的切线斜率为k=3x12
∴在A处的切线方程为y-（x₁³+2）=3x12（（x-x₁）
∵切线过点P，∴t-（x₁³+2）=3x12（（2-x₁）
∴2x13?6x12+(t?2)＝0①
同理2x23?6x22+(t?2)＝0②
①-②可得2(x13?x23)?6(x12?x22)＝0
∵x₁≠x₂，∴(x1+x2)2?x1x2?3(x1+x2)＝0
∵x₁≠x₂，∴x1x2＜((x1+x2)/(2))2
∴(x1+x2)2?((x1+x2)/(2))2?3(x1+x2)＜0
∴0＜x₁+x₂＜4
∴A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a²+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵f′(x)＝3(x+a)(x?(a)/(3))
∴x∈(0，(a)/(3))时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈((a)/(3)，1)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
∴当x=

作业帮用户 2017-06-09 举报