某数学兴趣小组开展了一次活动,如图1,正方形abcd中,ab＝6,将三角形板放在正方形abcd上

Question

某数学兴趣小组开展了一次活动,如图1,正方形abcd中,ab＝6,将三角形板放在正方形abcd上

Answer 1

考点：四边形综合题．
分析：（1）证明△ADP≌△CDQ,即可得到结论：DP=DQ；
（2）证明△DEP≌△DEQ,即可得到结论：PE=QE；
（3）与（1）（2）同理,可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ．在Rt△BPE中,利用勾股定理求出PE（或QE）的长度,从而可求得S△DEQ= 150\7,而△DEP≌△DEQ,所以S△DEP=S△DEQ= 150\7
（1）证明：∵∠ADC=∠PDQ=90°,
∴∠ADP=∠CDQ．
在△ADP与△CDQ中,

∠DAP＝∠DCQ＝90°
AD＝CD
∠ADP＝∠CDQ

∴△ADP≌△CDQ（ASA）,
∴DP=DQ．
（2）猜测：PE=QE．
证明：由（1）可知,DP=DQ．
在△DEP与△DEQ中,

DP＝DQ
∠PDE＝∠QDE＝45°
DE＝DE

∴△DEP≌△DEQ（SAS）,
∴PE=QE．
（3）∵AB：AP=3：4,AB=6,
∴AP=8,BP=2．
与（1）同理,可以证明△ADP≌△CDQ,
∴CQ=AP=8．
与（2）同理,可以证明△DEP≌△DEQ,
∴PE=QE．
设QE=PE=x,则BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中,由勾股定理得：BP2+BE2=PE2,
即：22+（14-x）2=x2,
解得：x= 50\7
,即QE= 50\7
∴S△DEQ= 1\2QE•CD= 1\2×50\7×6= 150\7
∵△DEP≌△DEQ,
∴S△DEP=S△DEQ= 150\7
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