22点之前答对追加分已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为√3/2,过点M(-1,0)的直线l已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为√3/2,过点M(-1,0)的直线l与椭圆交于P,Q两点.（1）若直线l

Question

22点之前答对追加分 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为√3/2,过点M(-1,0)的直线l
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为√3/2,过点M(-1,0)的直线l与椭圆交于P,Q两点.
（1）若直线l的斜率为1,且向量PM=-3/5向量QM,求椭圆标准方程
（2)若（1）中椭圆的右顶点为A,直线l的倾斜角为α,问α为何值时,向量AP×向量AQ取得最大值,并求出这个最大值

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),
因离心率为（根号3）/2,故（a^2-b^2)/a^2=3/4,a^2=4b^2.
(1)l的方程为y=x+1
代入x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1
化简得5x^2+8x+4-4b^2=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8/5,x1x2=(4-4b^2)/5.
由向量PM=（-3/5）向量QM得
(-1-x1,-y1)=(-3/5)*(-1-x2,-y2),
∴-1-x1=（-3/5）（-1-x2),
∴5x1+3x2=-8,解得x1=-8/5,x2=0.
∴b^2=1.所求椭圆方程为x^2/4+y^2=1.(1)
(2)A(2,0).l的方程为y=(x+1)tanα,
(2) 代入(1),化简得
[1+4(tanα)^2]x^2+8x(tanα)^2+4(tanα)^2-4=0,
则 x1+x2=-8(tanα)^2/[1+4(tanα)^2],
x1x2=[4(tanα)^2-4]/[1+4(tanα)^2].
由（2）,y1y2=(x1+1)(x2+1)(tanα)^2
=(x1x2+x1+x2+1)(tanα)^2,
AP·AQ=(x1-2,y1)·(x2-2,y2)
=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=x1x2*[1+(tanα)^2]+[-2+(tanα)^2](x1+x2)+4+(tanα)^2
={[4(tanα)^2-4]*[1+(tanα)^2]-8(tanα)^2*[-2+(tanα)^2]}/[1+4(tanα)^2]+4+(tanα)^2
=33(tanα)^2/[1+4(tanα)^2]
=33{1/4-1/[4+16(tanα)^2]},
∴当α=π/2时AP·AQ的最大值为33/4.
累死了 给分吧