已知椭圆M的离心率N，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足A（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在直线B，当直线M交椭圆于P、Q两点时，使点F恰

Question

已知椭圆M的离心率N，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足A
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线B，当直线M交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为N的垂心？若存在，求出直线P方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由e＝(√(2))/(2)，得a＝√(2)c，
∵M（0，b），F（c，0），B（a，0），
∴

MF

•

FB

＝(a−c)c＝√(2)−1，
∴(√(2)c−c)c＝√(2)−1，解得c²=1，
∴椭圆C的方程为(x2)/(2)+y2=1．
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件，使F是三角形MPQ的垂心，
∵k_MF=-1，且FM⊥l，∴k₁=1，
∴设PQ的直线方程为y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y＝x+m

(x2)/(2)+y2＝1

，得3x²+4mx+2m²-2=0，
△=16m²-12（2m²-2）＞0，m²＜3，
x1+x2＝−(4m)/(3)，x₁x₂=(2m2−2)/(3)，
又F为△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴

PF

•

MQ

＝0，
又

PF

＝(1−x1，−y1)，

MQ

＝(x2，y2−1)，
∴

PF

•

MQ

=x₂+y₁-x₁x₂-y₁y₂
=x₂+x₁+m-x₁x₂-y₁y₂
=-(4)/(3)m+m−(2m2−2)/(3)−(m2−2)/(3)＝0，
∴−(m)/(3)−m2+(4)/(3)＝0，
∴3m²+m-4=0，解得m=-(4)/(3)，或m=1，
经检验满足m²＜3，
∴存在满足条件的直线l的方程为x-y+1=0或3x-3y-4=0．