在三棱锥P－ABC中,PA＝PC,∠APC＝∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,平面PAC⊥平面ABC．（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）求二面角P－AB－C的大小；

Question

在三棱锥P－ABC中,PA＝PC,∠APC＝∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,平面PAC⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；
（2）求二面角P－AB－C的大小；

Answer 1

设BC = a
(1) BC垂直于平面PAC.(&&&两平面垂直,则一平面内垂直于其交线的直线,必垂直于另一平面)
故BC垂直于AP (****垂直于平面,就垂直于其上的任何直线)
又AP垂直于PC.(已知)
故AP垂直于平面PBC .(垂直于平面上的两相交直线)
AP在平面PAB上,
从而推出:平面PAB垂直于平面PBC.(过平面的垂线的平面,垂直于这平面)
(2) 作PD垂直AC于D,作PE垂直AB于E,连接DE.
知PD垂直于平面ABC (&&&),故DE为PE在平面ABC上的投影.
故DE垂直于AB.(垂直于斜线,就垂直于斜线的投影)
从而角PED即为二面角P-AB-C的平面角.
由BC=a,得:AB= 2a,AC =(根号3)a,PD= (根号3)a/2,DE = (根号3)a/4
在直角三角形PDE中.求得tan 角PED = PD/DE = 2.
即:二面角P－AB－C的大小为:arctan2.