设f(x)在区间[-a,a]（a>0）上具有二阶连续导数,f(0)=0,(1)写出f(x)带有拉格朗日余项(1)写出f(x)带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式（这问直接写答案就行,我对对）（2）证明在[-a,a](a>0)上至少存

Question

设f(x)在区间[-a,a]（a>0）上具有二阶连续导数,f(0)=0,(1)写出f(x)带有拉格朗日余项
(1)写出f(x)带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式（这问直接写答案就行,我对对）
（2）证明在[-a,a](a>0)上至少存在一点η,使得a^3*f(η)=3∫f(x)dx.(注：积分是从-a到a)
不好意思，第二问中那个f(η)应该是它的二阶导数f''（η)

Answer 1

缺条件：还应加上f'(0)=0,否则结论不成立
下面举一反例：f(x)=x+1,在[-1,1]上具有二阶连续导数
∫{-1,1}f(x)dx>0
但f''(x)=0,故结论不成立
(1) 带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(η)/2*x^2 η在0与x之间
=f''(η)/2*x^2
(2) 利用(1)的结论
3∫{-a,a}f(x)dx=3∫{-a,a}f''(η)/2*x^2dx
=3/2*f''(η)*[x^3/3]{-a,a}
=a^3*f''(η)