已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x＝12，则f(x)＝0在区间[0，2013]内根的个数为（）A.2011B.1006C.2013D.1007

Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x＝(1)/(2)，则f(x)＝0在区间[0，2013]内根的个数为（　　）
A. 2011
B. 1006
C. 2013
D. 1007

Answer 1

∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）=f（x-1）可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期等于2的周期函数，
∵f（(1)/(2)）=0，
∴f（-(1)/(2)）=0，再由周期性得f（-(1)/(2)+2）=f（(3)/(2)）=0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2013]内根的个数为2013，
故选C；