几何体E-ABCD是四棱锥,三角形ABD为正三角形,CB=CD,EC垂直BD求证BE=DE?

Question

几何体E-ABCD是四棱锥,三角形ABD为正三角形,CB=CD,EC垂直BD求证BE=DE?

Answer 1

这题其实还有第二小问的噢
 
证明：（I）

 
设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,CO⊥BD,
又已知CE⊥BD,EC∩CO=C,
所以BD⊥平面OCE．
所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,
所以BE=DE．
 
补充： （2）问 ：若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证：DM∥平面BEC．
 
（II）证法一：
取AB中点N,连接MN,DN,
∵M是AE的中点,
∴MN∥BE,又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
∴MN∥平面BEC,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BDN=30°,又CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∴ND∥BC,
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
∴DN∥平面BEC,又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC,又DM⊂平面DMN,
∴DM∥平面BEC
 

证法二：延长AD,BC交于点F,连接EF,

 
 
∵CB=CD,∠BCD=120°,
∴∠CBD=30°,
∵△ABD是等边三角形,
∴∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,
∴AB=1 2 AF,
又AB=AD,
∴D为线段AF的中点,连接DM,DM∥EF,又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
∴DM∥平面BEC