已知离心率根号5/5,左右焦点(-1,0)和(1,0).①求椭圆方程②直线X=KY+1与方程交于相异两点M,N.向量OM乘向量ON=-31/9,求K

Question

已知离心率根号5/5,左右焦点(-1,0)和(1,0).①求椭圆方程②直线X=KY+1与方程交于相异两点M,N.向量OM乘向量ON=-31/9,求K

Answer 1

c=1
e=√5/5=c/a
a=c/e=√5
b=2
x^2/5+y^2/4=1
x=ky+1
4x^2+5y^2=20
4(ky+1)^2+5y^2=20
(4k^2+5)y^2+8ky-16=0
My+Ny=-8k/(4k^2+5)
My*Ny=-16/(4k^2+5)
Mx+Nx=k(My+Ny)+2
Mx*Nx=k(My+Ny)+k^2MyNy+1
OM(Mx,My)*ON(Nx,Ny)=MxNx+MyNy=(k^2+1)MyNy+k*(My+Ny)+1
=(k^2+1)*(-16)/(4k^2+5)+k*(-8k)/(4k^2+5)+1=-31/9
(-16k^2-16-8k^2+4k^2+5)*9=-31(4k^2+5)
-180k^2-99=-124k^2-155
56=56k^2
k=1或k=-1