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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)证明A1C⊥BD,(2)求A1C与底面ABCD所成角的正切值
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)证明A1C⊥BD,(2)求A1C与底面ABCD所成角的正切值
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答案和解析
（1）因为AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB与AD相交点A,
所以：AA1⊥平面ABCD
那么A1C在平面ABCD内的射影为AC
又在平面ABCD内,BD⊥AC
所以由三垂线定理可得：A1C⊥BD
（2）由（1）知A1C在平面ABCD内的射影为AC
那么A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA
令正方体棱长为a,则易得：AC=根号2*a
所以在Rt△A1AC中,tan∠A1CA=AA1/AC=a/(根号2*a)=(根号2)/2
所以：AA1⊥平面ABCD
那么A1C在平面ABCD内的射影为AC
又在平面ABCD内,BD⊥AC
所以由三垂线定理可得：A1C⊥BD
（2）由（1）知A1C在平面ABCD内的射影为AC
那么A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA
令正方体棱长为a,则易得：AC=根号2*a
所以在Rt△A1AC中,tan∠A1CA=AA1/AC=a/(根号2*a)=(根号2)/2
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