若a，b，c，d都是实数，且ab=2（c+d），求证：关于x的方程x2+ax+c=0，x2+bx+d=0中至少有一个方程有实数根．

Question

若a，b，c，d都是实数，且ab=2（c+d），求证：关于x的方程x²+ax+c=0，x²+bx+d=0中至少有一个方程有实数根．

Answer 1

方程x²+ax+c=0的判别式为△₁=a²-4c，
方程x²+bx+d=0的判别式为△₂=b²-4d，
所以△₁+△₂=a²-4c+b²-4d=a²+b²-4（c+d），
∵ab=2（c+d），
∴△₁+△₂=a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，
∴△₁和△₂中至少有一个正数或都是0，
∴方程x²+ax+c=0，x²+bx+d=0中至少有一个方程有实根．