求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解,答案是y=(x+c)e^-x求过程,急

Question

求微分方程dy/dx+y=e^-x的通解,答案是y=(x+c)e^-x求过程,急

Answer 1

y'+y=e^-x是常系数线性非齐次方程
法一：求出齐次方程y'+y=0的通解为y=Ce^-x
再求y'+y=e^-x的一个特解,设解为y=Cxe^-x代入得C=1,即y=xe^-x为一特解
所以该方程解为y=Ce^-x+xe^-x=(x+C)e^-x
法二：方程变形为y'e^x+ye^x=1
即(ye^x)'=1
两边积分得ye^x=x+c,故y=(x+c)e^-x