抛物线y2=4x与过点M（4,0）的直线交A,B两点,向量AM=1/2MB,求直线方程

Question

抛物线y2=4x与过点M （4,0）的直线交A,B两点,向量AM=1/2MB,求直线方程

Answer 1

∵AM = (1/2)MB
∴2AM = MB
设A(x1,y1),B(x2,y2) 且M(4,0)
根据定比分点坐标公式,可有以下的的关系:
[ (2*x1+x2)/3,(2*y1+y2)/3 ] = [4,0]
可得(2*x1+x2)/3 = 4,(2*y1+y2)/3 = 0
化简:x2 = 12 - 2*x1,y2 = -2*y1
且A,B在抛物线上,∴它们的坐标满足方程:
得:y1² = 4*x1 (1)
y2² = 4*x2 (2)
由x2 = 12 - 2*x1,y2 = -2*y1 代入(2)式:
(-2*y1)² = 4*(12 - 2*x1)
化简:4*y1² = 48 - 8*x1 (3)
由(1)代入(3)式:4*(4*x1) = 48 - 8*x1
得x1 = 2
代入(1)式,得y1 = ± 2√2
根据点A,M的坐标,可得AB的直线方程:
(y - 0)/(x - 4) = (± 2√2 - 0)/(2 - 4)
化简:√2x + y - 4√2 = 0 或 √2x - y - 4√2 = 0