已知三角形ABC.（1）如图14,若P点是角ABC和角ACB的角平分线的交点,点E是外角角MBC,角BCN的角平分线的交点;（2）如图15,若点P是角ABC和角ACB的角平分线的交点,点E是角ABC和外角角ACH的角平分线的

Question

已知三角形ABC.（1）如图14,若P点是角ABC和角ACB的角平分线的交点,点E是外角角MBC,
角BCN的角平分线的交点;
（2）如图15,若点P是角ABC和角ACB的角平分线的交点,点E是角ABC和外角角ACH的角平分线的交点;
（3）如图16,若点P是角ABC和外角角ACH的角平分线的交点,点E是外角角MBC,角BCN的角平分线的交点.
请猜测三种情况下,角BPC与角E的数量关系,并选择其中两种情况说明理由.

Answer 1

证明（1）图①
∵P、E分别是△ABC的内、外角平分线的交点,
∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠MBC
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠MBC）=90°
同理∠3+∠4=90°
∴∠BPC+∠E=360°-2×90°=180°
证明（2）图②
∵P、E分别是△ABC的内、外角平分线的交点,
∴∠1= ∠ACB,∠2= ∠ACH
∴∠1+∠2= （∠ACB+∠ACH）=90°
∴∠BPC=∠E+∠PCE,
即∠BPC-∠E=90°
证明：（3）∵P点是∠ABC和外角∠ACH的角平分线的交点,
点E是外角∠MBC,∠BCN的角平分线的交点．
∴∠EBP=90°,
∴∠BPC+∠E=90°．
这道题也是我们的暑假作业.补习班老师给我们讲的.