已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)1.求g(a)的函数解析式2.若关于a的方程g(a)-t=0有解,求实数t的取值范围

Question

已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)
1.求g(a)的函数解析式
2.若关于a的方程g(a)-t=0有解,求实数t的取值范围

Answer 1

1
函数f(x)=ax^2-2x的对称轴：x=1/a,因为1/3≤a≤1,所以1≤1/a≤3.判别式delta=4>0
当1≤1/a≤2,即：1/2≤a≤1时,函数对称轴位于1和2之间,此时最小值N(a)=a*(1/a)^2-2/a=-1/a
最大值M(a)=f(3)=9a-6
当2≤1/a≤3,即：1/3≤a≤1/2时,函数对称轴位于2和3之间,此时最小值N(a)=a*(1/a)^2-2/a=-1/a
最大值M(a)=f(1)=a-2
所以g(a)=a-2+1/a,当1/3≤a≤1/2时；g(a)=9a-6+1/a,当1/2≤a≤1时
2
g(a)-t=0有解,实际上是求解g(a)的值域
当1/3≤a≤1/2时,g(a)=a-2+1/a,g’(a)=1-1/a^20,函数此时是增函数
9/2-6+2≤g(a) ≤9-6+1,即：1/2≤g(a) ≤4
综上：a在区间[1/3,1]上时,函数g(a)的范围是[1/2,4]
故g(a)-t=0如果有解t的范围[1/2,4]