（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f-1（ax）互为反函数，

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（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．
（1）判断函数g（x）=x²+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．

▼优质解答

答案和解析

解（1）函数g（x）=x²+1（x＞0）的反函数是g−1(x)＝

x−1

(x＞1)，
∴g−1(x+1)＝

(x＞0)，
而g（x+1）=（x+1）²+1（x＞-1），其反函数为y＝

x−1

−1(x＞1)，
故函数g（x）=x²+1（x＞0）不满足“1和性质”．
（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．
∴f−1(x)＝

x−b

(x∈R)，∴f−1(x+2)＝

x+2−b

，
而 f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数 y＝

x−b−2k

，
由“2和性质”定义可知

x+2−b

＝

x−b−2k

，对（x∈R）恒成立．
∴k=-1，b∈R，即所求一次函数f（x）=-x+b（b∈R）．
（3）设a＞0，x₀＞0，且点（x₀，y₀）在y=f（ax）图象上，则（y₀，x₀）在函数y=f^-1（ax）图象上，
故

f(ax0)＝y0

f−1(ay0)＝x0

，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
令 ax₀=x，则a＝

，∴f(x0)＝