设函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,f(x)的导数f(x)'的最小值为-12.求:(1)a,b,c的值.(2)函数f(x)在[-1,3]上的最大值与最小

Question

设函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数
已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,f(x)的导数f(x)'的最小值为-12.求:
(1)a,b,c的值.
(2)函数f(x)在[-1,3]上的最大值与最小值.

Answer 1

(1)定义域是R
那么f(0)=c=0
所以f(x)=ax^3+bx
f′(x)=3ax^2+b
因为其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直
所以f′(1)=-6
所以3a+b=-6
因为f(x)的导数f′(x)的最小值为-12
所以a>0 b=-12
所以a=2 b=-12 c=0
(2)f(x)=2x^3-12x
f′(x)=6x^2-12
令f′(x)=0得x=±√2
在[-1,3]内的是√2
f(-1)=10
f(√2)=-8√2
f(3)=30
所以函数f(x)在[-1,3]上的最大值是30,最小值是-8√2