已知a,b均为正数,且a+b=2,求u=√(a^2+4)+√(b^2+1)的最小值

Question

已知a,b均为正数,且a+b=2,求u=√(a^2+4)+√(b^2+1)的最小值

Answer 1

好题,数形结合即可解答
作线段AB=2,
过A作AC⊥AB,且AC=2,
过B在AB的另一侧作BD⊥AB,且BD=1
在AB上任取一点P,设PA=a,则PB=b,则a+b=2
连结PC,PD ,CD
由勾股定理得
CP=√（a²+2²）=√（a²+4）
DP=√（b²+1²）=√（b²+1)
CD=√[（2+1）²+2²]=√13,【可添画辅助线,构造出直角三角形来】
由两点之间线段最短得
CP+DP≥CD
即√（a²+4）+√（b²+1）≥√13
所以若a+b=12,则u=√（a²+4）+√（b²+1）最小值是√13