设函数f（x）=x2-ax+b,a,b∈R．（1）已知f（x）在区间（-∞,1）上单调递减,求a的取值范围；（2）存在实数a,使得当x∈[0,b]时,2≤f（x）≤6恒成立,求b的最大值及此时a的值

Question

设函数f（x）=x2-ax+b,a,b∈R． （1）已知f（x）在区间（-∞,1）上单调递减,求
a的取值范围；
（2）存在实数a,使得当x∈[0,b]时,2≤f（x）≤6恒成立,求b的最大值及此时a的值

Answer 1

（1）∵函数的对称轴为x=a/2 ,
∴要使f（x）在区间（-∞,1）上单调递减,则满足对称轴x=a/2 ≥1,即a≥2．
（2）∵当x∈[0,b]时,2≤f（x）≤6恒成立,
∴b＞0,
①若a≤0,则a 2
≤1,此时f（x）在[0,b]上单调递增,
∴f(x)min＝f(0)≥2
f(x) max＝f(b)≤6 ,
即b≥2
b2−ab+b≤6 ,
由b2-ab+b≤6得a≥b-6/b+1≥2−6/2 +1＝0,
∴a=0,此时
b≥2 b2+b≤6 ,解得
a＝0 b＝2
②若0＜a/2＜b/2,即0＜a＜b,此时
f(x)min＝f(a/2 )≥2 f(x)max＝f(b)≤6 ,
即
b−a^2/4 ≥2
b2−ab+b≤6
0＜a＜b ,
∴b≥a2/4 +2
a≥b−6/ b +1
0＜a＜b ,
即
b≥2 b−6/b +1＜b ,
∴2＜b＜6,
又b-a^2/4≥2,则a≤2√b−2 ,
∴b-6/b +1≤2√b−2 ,
令h（x）=x-6/ x +1,g（x）=2√x−2 ,
∴h（2）=g（2）=0,h（3）=g（3）=2,且h（x）与g（x）均在（2,6）上单调递增,
当2＜x＜3时,h（x）的图象在g（x）图象的下方,即此时h（x）＜g（x）,
∴不等式b-6 /b +1≤2√b−2 的解为2＜b≤3,
当b=3时,
3−a2 /4 ≥2
32−3a+3≤6
0＜a＜3 ,即
a≤2 a≥2
0＜a＜3
解得a=2．
③若0＜a/2 =b/2,
即0＜a=b,此时
f(x)min＝f(a/2 )≥2 f(x)max＝f(0)≤6 ,
即
b−a^2 /4 ≥2
b≤6
0＜a＜3
,此时不等式无解．
④若0＜b /2 ＜a/2〈b
即0＜b＜a＜2b,此时
f(x)min＝f(a/2)≥2 f(x)max＝f(0)≤6 ,即
b−a^2/4 ≥2 b≤6 即
b≥a2/4 +2
b≤6
b＜a ,
∴
a2 /4+2＜a,a2-4a+8＜0此时不等式无解．
⑤若a/2 ≥b,即a≥2b,此时f（x）在[0,b]上单调递减,
∴f(x)min＝f(b)≥2
f(x)max＝f(0)≤6 ,即
b2−ab+b≥2 b≤6
a≥2b ,
即a≤b−2 /b +1
b≤6
a≥2b ,
∴2b≤b−2/ b +1,
即b+2/b ≤1,而当b＞0时,b+2 /b ≥2√2 ＞1,∴此时不等式无解．
综上b的取值范围是[2,3],b的最大值是3,此时a=2．
———您好,百度专家组很高兴为你解答,您的采纳是我答题的动力!如果你觉得有帮助,