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证明如果A是s*n阶矩阵,则AtA特征值均为非负实数
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证明如果A是s*n阶矩阵,则AtA特征值均为非负实数
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答案和解析
（该结论仅限于实数范围,复数的需要把转置改成共轭转置）
由于AtA是对称矩阵（（AtA）t=AtA））,而对称阵是半正定的当且仅当它的特征值均为非负实数,从而只需证明这个矩阵是半正定的,那么任取n维向量x,xt（AtA）x=（xtAt）（Ax）=（Ax）t（Ax）,它是（Ax）和自身的内积,显然它非负,它=0当且仅当Ax=0,这说明AtA是半正定的,从而它的特征值均为非负实数.
由于AtA是对称矩阵（（AtA）t=AtA））,而对称阵是半正定的当且仅当它的特征值均为非负实数,从而只需证明这个矩阵是半正定的,那么任取n维向量x,xt（AtA）x=（xtAt）（Ax）=（Ax）t（Ax）,它是（Ax）和自身的内积,显然它非负,它=0当且仅当Ax=0,这说明AtA是半正定的,从而它的特征值均为非负实数.
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