设A为n阶实矩阵,满足AA^T=I（单位阵）,A的行列式小于零,试求A的伴随矩阵A*的一个特征值答案上说要证【I+A】=0 证不出来

Question

设A为n阶实矩阵,满足AA^T=I（单位阵）,A的行列式小于零,试求A的伴随矩阵A*的一个特征值
答案上说要证【I+A】=0 证不出来

Answer 1

首先,A是正交阵.因此行列式为+1或-1,由题目要求,有|A|=-1
其次,A伴随/|A| = A的逆 = A^T
故A伴随 = -A^T
因此A的特征值的相反数就是A伴随的特征值
根据你的修改,我做出一些修改
这个题出的很妙,又考了伴随矩阵又考了特征值
由于|A+I|*|A^T| = |(A+I)*A^T| = |A^T+I| = |A+I|
又|A| = |A^T| = -1
因此,-|A+I| = |A+I|
也就是说|A+I| = 0
因此“1”一定是A的特征值
故“-1”一定是A伴随的特征值
我第一遍的回答吧这题想的太简单了
没有注意到正交阵特征值的特殊性质,请见谅