1)设f(x)在[a,b]上可微,且f(a)=f(b)=0,证明：在(a,b)内存在一点ξ,使f'(ξ)=f(ξ)2)证明：若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f(c)>0,其中af（x)=f（c)+（x-c）*f'(c)+（x-c）^2/2*f''(ξ)请

Question

1) 设f(x)在[a,b]上可微,且f(a)=f(b)=0,证明：
在(a,b)内存在一点ξ,使f'(ξ)=f(ξ)
2) 证明：若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a) =f(b)=0,f(c)>0,其中a
f（x)=f（c)+（x-c）*f'(c)+（x-c）^2/2*f''(ξ)
请问这是什么式子呀?貌似还没学过...

Answer 1

1.F(x)=f(x)*e^x
F(a)=F(b)=0
存在F'(ξ)=0=【f'(ξ)=f(ξ)】*e^ξ,而e^ξ大于0.
所以存在在(a,b)内存在一点ξ,使f'(ξ)=f(ξ)
2.f（x)在c点展开.
f（x)=f（c)+（x-c）*f'(c)+（x-c）^2/2*f''(ξ),则有
f（a)=f（c)+（a-c）*f'(c)+（x-c）^2/2*f''(ξ1) 1式
f（b)=f（c)+（b-c）*f'(c)+（x-c）^2/2*f''(ξ2) 2式
若在(a,b)内不存在ξ,使f''(ξ)