设f(X),g(x)都在[a,b]上连续,且在(a,b)内可微分,中值定理设f(X),g(x)都在[a,b]上连续,且在(a,b)内可微,又对于（a,b）内的x有g'(x)不等于0,则在（a,b）内至少存在一点&使f'(&)/g'(&)=[f(&)-f(a)]/[g(b)-g(&)],

Question

设f(X),g(x)都在[a,b]上连续,且在(a,b)内可微分,中值定理
设f(X),g(x)都在[a,b]上连续,且在(a,b)内可微,又对于（a,b）内的x有g'(x)不等于0,则在（a,b）内至少存在一点&使 f'(&)/g'(&)=[f(&)-f(a)]/[g(b)-g(&)],

Answer 1

令 F(x)=f(x)g(x) - f(a)g(x) - g(b)f(x)
F(a) = -g(b)f(a) = F(b)
罗尔定理知,
在(a,b)内存在一点ξ,使
F'(ξ)=0,即

f'(ξ)g(ξ) + f(ξ)g'(ξ) - f(a)g'(ξ) - g(b)f'(ξ) = 0,

变形即可得结果.