求解一道高数题设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=f(ξ)

Question

求解一道高数题
设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明：至少存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=f(ξ)

Answer 1

令 F(x)= e^(-x)f(x) （乘了一个e的-x次方）
则有 F(a)=F(b)=0
由罗尔中值有
存在ξ∈(a,b),F'(ξ))= e^(-ξ)f'(ξ)-e^(-ξ)f(ξ)=0
即f'(ξ)-f(ξ)=0
f'(ξ)=f(ξ)
证毕