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函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m,在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为()A.[1,8]B.(-24,1]C.[1,8)D.(-24,8)
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函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m,在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为( )
A. [1,8]
B. (-24,1]
C. [1,8)
D. (-24,8)
A. [1,8]
B. (-24,1]
C. [1,8)
D. (-24,8)
▼优质解答
答案和解析
f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1),令f′(x)=0,解得x=-2或3.
其单调性如表格:
可知:当x=3时,函数f(x)取得极小值,f(3)=33-3×32-9×3+3=-24,
又f-2)=(-2)3-3×(-2)2-9×(-2)+3=1,可知最小值为f(3),即-24.
当x=-1时,函数f(x)取得极大值,f(-1)=(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+3=8,
又f(5)=53-3×52-9×5+3=8,可知函数f(x)的最大值为f(5)或f(-1),即为8.
画出图象y=f(x)与y=m.
由图象可知:当m∈(1,8)时,函数y=f(x)与y=m的图象由三个交点.因此当m∈(1,8)时,函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点.
故选C.
其单调性如表格:
x | [-2,-1) | -1 | (-1,3) | 3 | (3,5] |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
又f-2)=(-2)3-3×(-2)2-9×(-2)+3=1,可知最小值为f(3),即-24.
当x=-1时,函数f(x)取得极大值,f(-1)=(-1)3-3×(-1)2-9×(-1)+3=8,
又f(5)=53-3×52-9×5+3=8,可知函数f(x)的最大值为f(5)或f(-1),即为8.
画出图象y=f(x)与y=m.
由图象可知:当m∈(1,8)时,函数y=f(x)与y=m的图象由三个交点.因此当m∈(1,8)时,函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点.
故选C.
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