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如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30°方向2km处,河流的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,
题目详情
如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30°方向2km处,河流
的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A. (2
-2)a万元
B. 5a万元
C. (2
+1)a万元
D. (2
+3)a万元
的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A. (2
7 |
B. 5a万元
C. (2
7 |
D. (2
3 |
▼优质解答
答案和解析
依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支(以B为焦点),
此双曲线的离心率为2,以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系,
则该双曲线的方程为 x2-
=1,
点C的坐标为(3,
).则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[
|MB|+|MC|],
设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1,
根据双曲线的定义有|MM1|=
|MB|,
所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×(3-
)=5a.
当且仅当点M在线段C C1上时取等号,故ω的最小值是5a.
故选B.
此双曲线的离心率为2,以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系,
则该双曲线的方程为 x2-
y2 |
3 |
点C的坐标为(3,
3 |
1 |
2 |
设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1,
根据双曲线的定义有|MM1|=
1 |
2 |
所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×(3-
1 |
2 |
当且仅当点M在线段C C1上时取等号,故ω的最小值是5a.
故选B.
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