如图所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的、刚性平面．在A（x0，0，0）处放一带电量为-q（q＞0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，

Question

如图所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的、刚性平面．在A（x₀，0，0）处放一带电量为-q（q＞0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可通过它牵引小物块．现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与x轴，与z轴夹角为θ（如图复16-6所示）．设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为μ=tanθ，且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同．不计重力作用．现通过细线来牵引小物块，使之移动．在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态．若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程．

Answer 1

设所加匀强电场的场强为E，它在y方向和z方向的分量分别为：
E_y=-Esinθ
E_z=Ecosθ．
由于物块带负电，电场作用于物块的电力的两个分量分别为：
F_y=-qE_y=qEsinθ              ①
F_z=-qE_z=-qEcosθ             ②
F_y在xy平面内，方向沿y轴正方向；F_z垂直于xy平面，被绝缘平面的支持力所平衡，故物块对绝缘平面的正压力的大小N和F_z的大小相等，即：N=qEcosθ
绝缘平面作用于物块的摩擦力：
f=μN=qEtanθcosθ=qEsinθ=F_y   ③
f的方向决定于物块移动的方向，根据题意，物块在xy平面内的运动可看做是一种在力平衡下的缓慢移动，作用于物块的三个力F_y、f和线的拉力T都在xy平面内．物块在任一位置达到平衡时的受力情况如图预解16-6所示：

φ为细线与x轴的夹角．把T沿x和y方向分解得：
T_x=-Tcosφ
T_y=-Tsinφ
用f_x和f_y表示f的两个分量，物块平衡时，有：
F_y-Tsinφ+f_y=0     ④
-Tcosφ+f_x=0       ⑤
由④⑤式得：
(Fy−Tsinφ)2+T2cos2φ＝f2
注意到③式，得：
T（T-2F_ysinφ）=0 
解得：T=0或 T=2F_ysinφ   ⑥
因要小物块缓慢移动，需要细线牵引，T=0不符合题意，应舍去．
因0＜φ＜π，T=2F_ysinφ＞0，将T代入④⑤式，有：
fy＝Tsinφ−Fy＝−Fycos2φ
f_x=Tcosφ=F_ysin2φ
摩擦力方向的斜率：
k＝(fy)/(fx)＝−cotφ       ⑦
k是摩擦力方向与x轴夹角的正切，即摩擦力方向的斜率，因摩擦力始终沿轨道的切线方向，故k也就是轨道切线的斜率．
下面，通过对⑦式的分析来寻找轨道方程．当中一0，k-cosφ即在起点A时，轨道的切线与x轴垂直，
当φ=0，k=∞，即在起点A时，轨道的切线与x轴垂直．当φ＝(π)/(2)，k=∞，一种情况是小物块运动到y轴上后，沿y轴做直线运动到O点，但这与题设轨迹移动是一条二次曲线不符，因而它一定表示轨道在O点的切线与x轴垂直．
在二次曲线中，曲线上两点切线相互平行的只有椭圆或圆．又因为A、O两点的切线与它们的连线相垂直，这连线应为曲线的轴线，且在Ox轴上，另一轴在它的垂直平分线上且与y轴平行．曲线与此轴线的交点的切线的斜率为0．代入⑦式得φ＝(π)/(4)，故该曲线为圆，其方程为：
(x−(x0)/(2))2+y2＝(x20)/(4) ⑧
答：小物块的移动轨迹方程是(x−(x0)/(2))2+y2＝(x20)/(4)．