已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．

Question

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n；
（2）试比较S_n与n³的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）取x=1，可得 a0＝2n． …（1分）
对等式两边求导，得n(x+1)n−1＝a1+2a2(x−1)+3a3(x−1)2+…+nan(x−1)n−1，
取x=2，则Sn＝a1+2a2+3a3+…+nan＝n•3n−1．       …（4分）
（2）要比较S_n与n³的大小，即比较：3^n-1与n²的大小，
当n=1，2时，3^n-1＜n²；  当n=3时，3^n-1=n²； 当n=4，5时，3^n-1＞n²． …（6分）
猜想：当n≥4时，3^n-1＞n²，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4时结论成立，
假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3^k-1＞k²，
当n=k+1时，3^（k+1）-1=3•3^k-1＞3k²．
而3k²-（k+1）²=2k²-2k-1=2k（k-1）-1≥2×4×3-1=23＞0，
∴3^（k+1）-1＞3•3^k-1＞3k²＞（k+1）²，故当n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3^n-1＞n²成立．    …（11分）
综上得，当n=1，2时，Sn＜n2； 当n=3时，Sn＝n2；当n≥4，n∈N^*时，Sn＞n2．…（12分）