对弧段L的积分求在弧段L上的积分?被积函数为x^2+y^2,其中L为x^2+y^2+z^2=1与x+y+z=1的交线.(其中x^2表示x的平方)积分曲线怎么会是对称的呢？比如（x,y,z）在L上，但（x,y,-z)却不在L上啊？对于x,y类

Question

对弧段L的积分
求在弧段L上的积分?被积函数为x^2+y^2,
其中L为x^2+y^2+z^2=1与x+y+z=1的交线.(其中x^2表示x的平方)
积分曲线怎么会是对称的呢？
比如（x,y,z）在L上，但（x,y,-z)却不在L上啊？对于x,y类似。因为它不满足x+y+z=1这个式子，就不可能是它与球的交线上的点了

Answer 1

由积分曲线的对称性可知
x^2+y^2 x^2+z^2 y^2+z^2
的积分都是相等的
令x^2+y^2的积分值为M
则 2(x^2+y^2+z^2)的积分值是3M
x^2+y^2+z^2在积分曲线上的积分就是大圆的周长2π
所以M=4π/3