高数：书上有定义limf(x)/g(x)=1,则f(x)与g(x)是等价无穷小.还有重要极限limsinx/x=1以上两条,是不是无论当x趋于多少,f(x)与g(x)都是等价无穷小?但是我做题还有上课,一般都是当x趋于0时sinx～x,可是

Question

高数：
书上有定义limf(x)/g(x)=1,则f(x)与g(x)是等价无穷小.
还有重要极限limsinx/x=1
以上两条,是不是无论当x趋于多少,f(x)与g(x)都是等价无穷小?但是我做题还有上课,一般都是当x趋于0时sinx～x,可是书上定义却并没有说一定要x趋于0啊,到底是怎么回事?
如果不规定x，则如果x趋于8，则limf(x)/g(x)=1 => f(x)～g(x)不是可以替代了吗？
还有，有一题：当x——>3,求limsinx/5x，则是否可以这样：原式=limx/5x=1/5？当x不趋于0时，可以用x代替sinx吗？
还有这一题，望大家过去看看，THANKS!

Answer 1

对于lim sinx/x = 1,这是绝对的,一定要趋向于0.
x→0
对于lim f(x)/g(x) = 1,不是绝对的,不一定要趋向于0,只是趋向于一个定值x.
x→x.
例如：lim sin(x-1)/(x-1) = 1,要求的是x→1,而不是x→0
x→1
在当x→x.,若 lim f(x)/g(x) = 1,f(x)与g(x)当然就是等价无穷小,不过要记住成立的条件：x→x.
楼主的质疑是对的,学微积分不可以想当然,就是得一个一个概念认真推敲,才能掌握微积分的实质.加油!
还有,有一题：当x→3,求limsinx/5x,则是否可以这样：原式=limx/5x=1/5?当x不趋于0时,可以用x代替sinx吗?
答：当x→0时,
原式 = limsinx/5x
= lim[(x/5x)(sinx/x)]
= 1/5 = 0.2
当x→3时,
原式 = limsinx/5x
= (sin3)/15
≈ 0.0288224
【结论】：
当x不趋于0时,绝对不可以用x代替sinx.