微分方程f(x)''=f(x)有解吗?求f(x)''=kf(x)所有解，没说清楚

Question

微分方程f(x)''=f(x)有解吗?
求f(x)''=kf(x)所有解，没说清楚

Answer 1

原方程可化为 f(x)''-kf(x) = 0,这是常系数线性微分方程.
特征方程为 r^2-k = 0.
当k>0时,特征方程解为 r1 = k^(1/2) ,r2 = - k^(1/2).
通解为 f(x) = c1*e^(k^(1/2)*x)+c2*e^(- k^(1/2)*x)
当k=0时,特征方程解为 r1 = r2 =0,
通解为 f(x) = c1*e^(0*x)+c2*x*e^(0*x) = c1+c2*x
当k