若函数y=f(x)为偶函数,且y=(x-1)为奇函数f(2)=-1,则f(1)+f(2)+……+f(2014)=?

Question

若函数y=f(x)为偶函数,且y=(x-1)为奇函数f(2)=-1,则f(1)+f(2)+……+f(2014)=?

Answer 1

f(x-1)是f(x)向右平移一个单位得到,它关于原点对称,说明f(x)关于(-1,0)对称
 f(x-1)=-f(-x-1) x用x+1代  f(x)=-f(-x-2)=f(-x)  ,  -x用x代  -f(x-2)=f(x)
再写一个 -f(x-4)=f(x-2)  上两式一合并 得f(x)=f(x-4),周期为4

f(1)=f(-1)=0,f(2)=-1,f(3)=f(-1)=0,f(4)=f(0)=-f(-2)=-f(2)=1

故有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0-1+0+1=0

2014/4=503...2

故有f(1)+f(2)+...+f(2014)=f(1)+f(2)=0-1=-1