已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x²+2x+1≥4x²，解得-(1)/(3)≤x≤1，
故不等式的解集为[-(1)/(3)，1]．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|-2|x|≥a．
设h（x）=|x+1|-2|x|=

1−x ， x≥0

3x+1 ， −1≤x＜0

x−1 ， x＜−1

．
故当x≥0时，h（x）≤1． 当-1≤x＜0时，-2≤h（x）＜1． 当x＜-1时，h（x）＜-2．
综上可得h（x）的最大值为1．
由题意可得1≥a，故实数a的取值范围为（-∞，1]．