幂函数的求解2函数f(x)=x^2,是否存在正数p,使函数g(x)=1－pf(x)+(2p-1)x在[-1,2]上的值域为[-4,17/8].若存在,求p；若不存在,说明理由

Question

幂函数的求解2
函数f(x)=x^2,是否存在正数p,使函数g(x)=1－pf(x)+(2p-1)x在[-1,2]上的值域为[-4,17/8].若存在,求p；若不存在,说明理由

Answer 1

假设存在,那么g(x)开口是向下的,最大值的取得必定只有三种来源1.左端点-1；2.右端点2；3.对称轴(2p-1)/2p(而且必须满足他在[-1,2]时再考虑)
最小值的取得只有两种来源1.左端点-1；2.右端点2；
g(-1)=1-2p
g(2)=4p-5
我们假设是一种最简单的情形,也就是对称轴不在[-1,2]中
g(-1)为最小值,那么1-2p=-4,p=2.5,代入g(2),不符
若g(-1)为最大值,那么1-2p=17/8,这是不可能的,注意到p为正数!
那么对称轴必定是在[-1,2]中了,所以最大值一定是由(2p-1)/2p取得
因为计算太繁琐,我们还是代入
g(-1)为最小值p=2.5,代入,g(2)=5>17/8最大值,所以此情况不成立
g(2)为最小值p=1/4,代入,g(2)=0.5