已知X1和X2是一元二次方程4倍K乘以X的平方减4倍KX加K加1等于0的两个实数根.1.是否存在实数K,使（2倍X1-X2)(X1-2倍X2）=-3/2成立,若存在,求K值,若不存在,请说明理由.2.求使X2/X1+X1/X2-2的值为整数时实

Question

已知X1和X2是一元二次方程4倍K乘以X的平方减4倍KX加K加1等于0的两个实数根.
1.是否存在实数K,使（2倍X1-X2)(X1-2倍X2）=-3/2成立,若存在,求K值,若不存在,请说明理由.2.求使X2/X1+X1/X2-2的值为整数时实数K的值.

Answer 1

∵x1,x2是方程4kx²-4kx+k+1=0的两个根,
∴x1+x2=1 x1x2=(k+1)/(4k)
∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2x1²+2x2²-3x1x2=2(x1²+x2²)-3x1x2=2(x1+x2)²-7x1x2=2-7(k+1)/(4k)
令2-7(k+1)/(4k)=-3/2,解得k=1,所以存在.
x2/x1+x1/x2-2=(x2²+x1²)/(x1x2)-2=[(x1+x2)²-2x1x2]/(x1x2)-2=(1-2x1x2)/(x1x2)-2=1/(x1x2)-4
=4k/(k+1)-4=-4/(k+1)
因为是整数,所以k+1=±1,±2,±4
解得k=-5,-3,-2,0,1,3