设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1a．（1）a=12，b=0，c=38，求x12+x22的值（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜x12（3）当x∈（0，x1

Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜(1)/(a)．
（1）a=(1)/(2)，b=0，c=(3)/(8)，求x₁²+x₂²的值
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，证明：x₀＜(x1)/(2)
（3）当x∈（0，x₁）时，证明x＜f（x）＜x₁．

Answer 1

（1）f(x)−x＝(1)/(2)x2−x+(3)/(8)＝0⇒x1x2＝(3)/(4)，x1+x2＝2，
∴

x

2 1

+

x

2 2

＝(x1+x2)2−2x1x2=(5)/(2)------（3分） 
（2）∵x0＝−(b)/(2a)---------（4分）      
∴x0+(1)/(2a)＝−(b−1)/(2a)＝(1)/(2)(x1+x2)----------（6分）
∵x2＜(1)/(a)⇒(x2)/(2)＜(1)/(2a)，
∴(1)/(2)x1+(1)/(2)x2＜(1)/(2)x1+(1)/(2a)⇒x0+(1)/(2a)＜(1)/(2)x1+(1)/(2a)，
∴x0＜(x1)/(2)----------------（8分）
（3）设f（x）-x=a（x-x₁）（x-x₂）----------（9分）        
∵x∈（0，x₁）∴x-x₁＜0，x-x₂＜0，a＞0，
∴f（x）-x＞0⇒x＜f（x）--------（11分）
f（x）-x₁=f（x）-x+x-x₁=a（x-x₁）（x-x₂）+（x-x₁）=（x-x₁）[a（x-x₂）+1]--------（13分）
∵−(1)/(a)＜x−x2＜0∴−1＜a(x−x2)＜0⇒f(x)−x1＜0⇒f(x)＜x1--------（14分）