已知f（x）在[0，+∞）上连续，且满足0≤f（x）≤x，x∈[0，+∞），设a1≥0，an+1=f（an），n=1，2…，证明：（1）{an}收敛；（2）若limn→∞an=l，则f（l）=l．

Question

已知f（x）在[0，+∞）上连续，且满足0≤f（x）≤x，x∈[0，+∞），设a₁≥0，a_n+1=f（a_n），n=1，2…，证明：
（1）{a_n}收敛；
（2）若

lim

n→∞

an=l，则f（l）=l．

Answer 1

证明：（1）有题设条件，知
0≤a₂=f（a₁）≤a₁，
0≤a_n+1=f（a_n）≤a_n，
于是{a_n}单调递减，有下界，
根据单调有界定理，知{a_n}收敛．
（2）设

lim

n→∞

an＝l，由于f（x）在[0，+∞）上连续，
在a_n+1=f（a_n）中，令n→∞，取极限，得f（l）=l．