设等比数列an的前n项的和为Sn,若S6/S3=3,则S9/S6=

Answer 1

先说一个等比数列的性质：记S(n)为等比数列an的前n项和,P(n)为S(m*n)-S((m-1)*n),m=1,2,……；则P(n)也为等比数列；且公比为q^n
证明：设等比数列为：a(n)=a1*q^(n-1)
记S(n)为前n项和,则有：
S(2n)-S(n)=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n)
=a1*q^n(1+q+……+q^(n-1))
=q^n*S(n)
同样：
S(3n)-S(2n)=q^(2n)*S(n)
同理可得：
S(m*n)-S((m-1)n)=q^((m-1)n)*S(n)
故有：
S(m*n)-S((m-1)*n),m=1,2,……；是等比数列,公比为q^n
(注：你可以只记住结论也行,会用就可以)
由上面我们知道,S3,S6-S3,S9-S6也是等比数列
因为S6/S3=3
所以S6=3S3,S6-S3=3S3-S3=2S3
所以S9-S6=(S6-S3)^2/S3=(2S3)^2/S3=4S3
所以S9=S6+4S3=2S3+4S3=6S3
所以S9/S6=6S3/2S3=3