（2011•江苏模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=pan-2n，n∈N*，其中常数p＞2．（1）证明：数列{an+1}为等比数列；（2）若a2=3，求数列{an}的通项公式；（3）对于（2）中数列{an}，若数

Question

（2011•江苏模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常数p＞2．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）若a₂=3，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{a_n}，若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k与b_k+1之间插入2^k-1（k∈N^*）个2，得到一个新的数列{c_n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c_n}的前m项的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵2S_n=pa_n-2n，∴2S_n+1=pa_n+1-2（n+1），∴2a_n+1=pa_n+1-pa_n-2，
∴an+1＝(p)/(p−2)an+(2)/(p−2)，∴an+1+1＝(p)/(p−2)(an+1)，
∵2a₁=pa₁-2，∴a1＝(2)/(p−2)＞0，∴a₁+1＞0
∴(an+1+1)/(an+1)＝(p)/(p−2)≠0，∴数列{a_n+1}为等比数列．
（2）由（1）知an+1＝((p)/(p−2))n，∴an＝((p)/(p−2))n−1（8分）
又∵a₂=3，∴(p)/(p−2)×(p)/(p−2)−1＝3，∴p=4，∴a_n=2ⁿ-1（10分）
（3）由（2）得b_n=log₂2ⁿ，即b_n=n，（n∈N^*），
数列C_n中，b_k（含b_k项）前的所有项的和是：(1+2+3+…+k)+(20+21+22+…+2k−2)×2＝(k(k+1))/(2)+2k−2
当k=10时，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2011
当k=11时，其和是66+2¹¹-2=2112＞2011
又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数，
所以当m=10+（1+2+2²++2⁸）+467=988时，T_m=2011，
所以存在m=988使得T_m=2011．