二阶可导能得出二阶导数连续么?不是说可导比连续么?二阶可导怎么理解?

Question

二阶可导能得出二阶导数连续么?不是说可导比连续么?二阶可导怎么理解?

Answer 1

是这样的y=f(x)可导,则f(x)必然连续.
但f'(x)不一定连续.
比如我们f(x)可以定义如下：
f(x)=0 若 x=0
f(x)=x²sin(1/x) 若 x≠0
这个函数是可导的
这是因为在x≠0,可导显然
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
x=0处有,x→0
f'(0) = lim (x²sin(1/x)-0)/(x-0)
=lim xsin(1/x)=0 (无穷小乘有界量极限为0)
所以有
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) 若 x=0
f'(x)=0 若 x≠0
f'(x)是不连续的,因为x→0时,lim f'(x)不存在.
再令F(x) = ∫f(t)dt (积分区间为0到x)
可以得到F''(x)=f(x),F二阶可导,但二阶导数不连续