如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是．

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是___．

Answer 1

分两步：
①连接AP，则AP=AP′，
∴△A'PC周长=A′P+PC+A′C=AP+PC+A′C，
∵AP+PC>AC，
当A、P、C三点共线时，AP+PC有最小值，是AC的长，
所以AC与MN的交点就是点P，
由勾股定理得：AC=√(22+42)=2√(5)，
②连接CM，
∵A′C>CM-A′M，
∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，
此时，∵M是AD的中点，
∴AM=DM=1，
∴MC=√(42+12)=√(17)，
由折叠得：AM=A′M=1，
∴A′C=MC-A′M=√(17)-1，
∴△A'PC周长的最小值是：√(17)-1+2√(5)，
故答案为：√(17)-1+2√(5)．