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(2000•甘肃)已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M,N两点(点N在点M的右侧),并且M和N两点的横坐标分别是方程x2-2x-3=0的两根,点K是抛物线与y轴的交点,∠MKN不小于90度.(1)求点M
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(2000•甘肃)已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M,N两点(点N在点M的右侧),并且M和N两点的横坐标分别是方程x2-2x-3=0的两根,点K是抛物线与y轴的交点,∠MKN不小于90度.
(1)求点M和N的坐标;
(2)求系数a的取值范围;
(3)当y取得最大值时,抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求点M和N的坐标;
(2)求系数a的取值范围;
(3)当y取得最大值时,抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)可根据先求出方程x2-2x-3=0的两根,然后根据M,N的左右位置来确定它们的坐标.
(2)可先用交点式设出抛物线的解析式,由于抛物线过M,N,因此可将抛物线设为y=a(x2-2x-3),求∠MKN不小于90°时a的取值范围,那么可先求出∠MKN=90°时,a的值.当∠MKN=90°时,可根据射影定理求出OK的长,也就求出了a的值,进而可得出a的取值范围.(要注意的是抛物线开口向下的条件,即a<0).
(3)当y取最大值时,那么∠NKN必为90°,可根据(2)得出的∠MKN=90°时a的值,进而可求出抛物线的解析式,然后根据三角形MKN的面积求出P点纵坐标的绝对值,再将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标.
【解析】
(1)由题意:x2-2x-3=0,x=3,x=-1
由于N在点M的左侧,因此M,N的坐标分别是M(-1,0),N(3,0)
(2)抛物线与x轴交于M(-1,0),N(1,0)两点,则y=a(x2-2x-3)
抛物线开口向下,则a<0,令x=0,y=-3a>0,K(0,-3a).
当∠MKN=90°时,
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°,∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO:KO=KO:ON,=
∴a2=,a=-
由于∠MKN不小于90°,因此a的取值范围是-≤a<0;
(3)当y取最大值时,a=-,因此抛物线的解析式为y=-x2+x+;
设P点的坐标为(0,h),则有:
S△MPN=•MN•|h|=2,MN=4,因此|h|=,h=±.
当h=时,=-x2+x+:解得x=0或x=2.
当h=-时,-=-x2+x+:解得x=1+或1-.
因此P点的坐标为(0,)、(2,)、(1+,-)、(1-,-).
(2)可先用交点式设出抛物线的解析式,由于抛物线过M,N,因此可将抛物线设为y=a(x2-2x-3),求∠MKN不小于90°时a的取值范围,那么可先求出∠MKN=90°时,a的值.当∠MKN=90°时,可根据射影定理求出OK的长,也就求出了a的值,进而可得出a的取值范围.(要注意的是抛物线开口向下的条件,即a<0).
(3)当y取最大值时,那么∠NKN必为90°,可根据(2)得出的∠MKN=90°时a的值,进而可求出抛物线的解析式,然后根据三角形MKN的面积求出P点纵坐标的绝对值,再将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标.
【解析】
(1)由题意:x2-2x-3=0,x=3,x=-1
由于N在点M的左侧,因此M,N的坐标分别是M(-1,0),N(3,0)
(2)抛物线与x轴交于M(-1,0),N(1,0)两点,则y=a(x2-2x-3)
抛物线开口向下,则a<0,令x=0,y=-3a>0,K(0,-3a).
当∠MKN=90°时,
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°,∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO:KO=KO:ON,=
∴a2=,a=-
由于∠MKN不小于90°,因此a的取值范围是-≤a<0;
(3)当y取最大值时,a=-,因此抛物线的解析式为y=-x2+x+;
设P点的坐标为(0,h),则有:
S△MPN=•MN•|h|=2,MN=4,因此|h|=,h=±.
当h=时,=-x2+x+:解得x=0或x=2.
当h=-时,-=-x2+x+:解得x=1+或1-.
因此P点的坐标为(0,)、(2,)、(1+,-)、(1-,-).
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