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在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图①).(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图②),PC的长为2525;

题目详情
在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图①).
(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图②),PC的长为
2
5
2
5

(2)探究:将直尺从图②中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中(如图①是该过程的某个时刻),请你观察、猜想,并解答:
PF
PE
的值是否发生变化?说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
AP=1,CD=AB=2,则PB=
5

∴∠ABP+∠APB=90°,
又∵∠BPC=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∴∠ABP=∠DPC,
∴△APB∽△DCP,
AP
CD
=
PB
PC
,即
1
2
=
5
PC

∴PC=2
5

故答案为:2
5


(2)
PF
PE
的值不变,理由为:
证明:过F作FG⊥AD,垂足为G,
则四边形ABFG是矩形,
∴∠A=∠PGF=90°,GF=AB=2,
∴∠AEP+∠APE=90°,
又∵∠EPF=90°,
∴∠APE+∠GPF=90°,
∴∠AEP=∠GPF,
∴△APE∽△GFP,
PF
PE
=
GF
AP
=
2
1
=2,
∴Rt△EPF中,tan∠PEF=
PF
PE
=2,
PF
PE
的值不变.
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