已知在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，点P是边AC上的一个动点，∠APD=∠ABC，AD∥BC，联结DC．（1）如图1，如果DC∥AB，求AP的长；（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设AP=x，AE=y，求y

Question

已知在△ABC中，AB=AC=8，BC=4，点P是边AC上的一个动点，∠APD=∠ABC，AD∥BC，联结DC．
（1）如图1，如果DC∥AB，求AP的长；
（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设AP=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如图3，如果直线DC与边BA的反向延长线交于点F，联结BP，当△CPD与△CBF相似时，试判断线段BP与线段CF的数量关系，并说明你的理由．

Answer 1

考点：
相似形综合题
专题：

分析：
（1）先证明△DPA∽△ABC，得出比例式APBC=ADAC，即可求出AP=2；（2）由（1）得出APBC=ADAC，AD=2AP，再由AD∥BC，得出ADBC=AEED，即可得出y=8x2-x；（3）由△CPD∽△CBF，得出PDBF=CPBC，得出2xy=8-x4①，再由AD∥BC，得BCAD=BFAF，得出42x=yy+8②，由①②解得x、y的值，得出BP是△ACF的中位线，即可得出结论：BP=12CF．

（1）∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∵∠APD=∠ABC，∴△DPA∽△ABC，∴APBC=ADAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=4，∵AB=AC=8，∴AP4=48，∴AP=2；（2）由（1）得，APBC=ADAC，∴AD=2AP，∵AD∥BC，∴ADBC=AEED，∵AP=x，AE=y，∴AD=2x，EB=y+8，∴2x4=yy+8，∴y=8x2-x，它的定义域是0＜x＜2；（3）BP=12CF；∵∠APD=∠ABC，∴∠DPC=∠FBC，∵∠PCD＞∠F，又△CPD与△CBF相似，∴∠PCD=∠BCE，∴△CPD∽△CBF，∴PDBF=CPBC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠APD=∠ABC，∠DAP=∠ACB，∴∠DAP=∠APD，∴AD=PD，设AP=x，BF=y，则AD=PD=2x，AF=y+8，∴2xy=8-x4①，∵AD∥BC，∴BCAD=BFAF，∴42x=yy+8②，由①②得：x=4，y=8，∴AP=PC=4，AB=BF=8，∴BP是△ACF的中位线，∴BP=12CF．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线四边形的性质、三角形的中位线以及函数解析式的求法；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．